曲线和曲面积分

第一型曲线积分

性质

无方向性、线性性、可加性.

计算

设 \(f(x,y)\) 在光滑曲线 \(L\) 上连续，\(L\) 的参数方程为

\[ r = r(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j}, \quad t \in [\alpha, \beta] \]

\[ \text{d}s = \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} \, \text{d}t \]

则有

\[ \int_L f(x,y) \, \text{d}s = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} \, \text{d}t \]

注

• 由于 \(\text{d}s\) 是弧长，取正值，故定积分限应 \(\alpha < \beta\)

• 若曲线 \(L\) 的方程为 \(y = y(x)\)，\(x \in [a, b]\)，则

$$ \int_L f(x,y) \, \text{d}s = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + y'^2(x)} \, \text{d}x $$

• 在极坐标 \(r=r(\theta)\) 下，\(\text{d}s = \sqrt{r^2+r'^2}\text{d}\theta\)

第一型曲面积分

计算

设有光滑参数曲面 \(S\):

\[ \bm{r} = \bm{r}(u,v) = x(u,v)\bm{i} + y(u,v)\bm{j} + z(u,v)\bm{k},\quad (u,v)\in D \]

\[ \text{d}S = |\bm{r}_u'(u,v)\times \bm{r}_v'(u,v)|\text{d}u\text{d}v \]

故曲面面积:

\[ \iint_Sf(x,y,z)\text{d}S = \iint_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{A^2+B^2+C^2}\text{d}u\text{d}v \]

其中 \(\begin{aligned}A=\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}, B=\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}, C=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\end{aligned}\)

注

• 若曲面 \(S\) 的显式方程为 \(z=z(x,y), (x,y)\in D\)，则

\[\iint_Sf(x,y,z)\text{d}S = \iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+{z'_x}^2+{z'_y}^2}\text{d}x\text{d}y\]

第二型曲线积分

定义

设起点参数为 \(\alpha\) ，终点参数为 \(\beta\) 的平面定向曲线 \(L\) 的参数方程为

\[\bm{r}=\bm{r}(t)=x(t)\bm{i}+y(t)\bm{j}\quad t:\alpha\to\beta\]

\(\bm{r}'(t)=x'(t)\bm{i}+y'(t)\bm{j}\) - 指向参数增加方向切向量

\(\begin{aligned}\bm{\tau}\stackrel{\text{def}}{=}\frac{\bm{r}'(t)}{\left|\bm{r}'(t)\right|}\end{aligned}\) - 指向参数增加方向单位切向量

若 \(D\) 内的任意一条闭曲线所围区域都落在 \(D\) 内, 则称 \(D\) 为单连通的, 否则称其为复连通的

当当点沿区域 \(D\) 边界朝一个方向前进时, \(D\) 总在其左手侧, 规定此方向为区域 \(D\) 诱导的边界正向, 记为 \(\partial D^+\)

与 \(\partial D^+\) 相反的方向称为 \(D\) 的边界负向, 记为 \(\partial D^-\)

向量形式

\[\int_L\bm{F}\cdot \text{d}\bm{r}\stackrel{\text{def}}{=}\int_L(\bm{F}\cdot\bm{\tau})\text{d}s\]

坐标形式

\[\begin{aligned}\int_L\bm{F}\cdot \text{d}\bm{r}&=\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)\text{d}s\\ &=\int_LP\text{d}x+Q\text{d}y \end{aligned}\]

计算

若定向曲线 \(L\) 为 \(\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t), \end{cases}\quad t:\alpha\to\beta\)，则

\[\int_LP\text{d}x+Q\text{d}y=\int_\alpha^\beta[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]\text{d}t\]

注

• 当 \(L\) 为闭曲线时，视向量场\(\bm{v}=(P,Q)\) 为流体的流速场，则积分表示流体沿 \(L\) 的环流量，可记为

\[\varPhi=\oint_L\bm{v}\cdot\text{d}\bm{r}=\oint_LP\text{d}x+Q\text{d}y\]

• 若曲线 \(L\) 的方程为 \(y = y(x), x:a \to b\), 则

\[\int_LP\text{d}x+Q\text{d}y=\int_a^b[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)]\text{d}x\]

• 若 \(L\) 为平行 \(x\) 轴的定向线段, 则 \(\displaystyle\int_LQ\text{d}y=0\)

Green 定理

公式

设 \(\bm{v} = (P(x,y),Q(x,y))\) 是有界闭域 \(D\) 内的光滑向量场，则有

\[\oint_{\partial D^+}P\text{d}x+Q\text{d}y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y\]

向量形式

\[\oint_{\partial D}\bm{F}\cdot\bm{n}^{\circ}\text{d}s=\iint_D\nabla\cdot\bm{F}\text{d}\sigma\]

设平面有界闭域 \(D\) 的边界分段光滑, 则其面积 $$ S=\frac{1}{2}\oint_{\partial D^+}x\text{d}y-y\text{d}x$$

二维形式三维形式

定理

设 \(\bm{v} = (P(x,y),Q(x,y))\) 是单连通区域 \(D\) 内的光滑向量场，则下面四条等价：

1. 在 \(D\) 内的任一条分段光滑闭曲线 \(L\) 上 \(\begin{aligned}\oint_LP\text{d}x+Q\text{d}y=0\end{aligned}\)

2. 在 \(D\) 内曲线积分 \(\begin{aligned}\int_LP\text{d}x+Q\text{d}y\end{aligned}\) 与路径无关，即值仅与 \(A,B\) 有关, 而与 \(L\) 无关

3. 向量场是某函数的梯度场，即存在 \(\varphi(x,y)\)，使得 \(\bm{v} = \nabla\varphi(x,y) \text{ or } \text{d}\varphi = P\text{d}x+Q\text{d}y\)

4. \(\begin{aligned}\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}\end{aligned}\) 在 \(D\) 内恒成立

设 \(v\) 在 \(D\) 内的曲线积分与路径无关, 则对 \(\forall A, B\in D\), 有

\[\int_A^B\bm{v}\cdot\text{d}\bm{r}=\varphi(B)-\varphi(A)\]

其中 \(\varphi(x,y)\) 满足 \(\bm{v}=\nabla\varphi\)

定理

设 \(\bm{v} = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\) 是一维单连通区域 \(V\) 内的光滑向量场，则下面四条等价：

1. 在 \(V\) 内的任一条分段光滑闭曲线 \(L\) 上 \(\begin{aligned}\oint_LP\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z=0\end{aligned}\)

2. 在 \(V\) 内曲线积分 \(\begin{aligned}\int_LP\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z\end{aligned}\) 与路径无关，即值仅与 \(A,B\) 有关, 而与 \(L\) 无关

3. 向量场是某函数的梯度场，即存在 \(\varphi(x,y,z)\)，使得 \(\bm{v} = \nabla\varphi(x,y,z) \text{ or } \text{d}\varphi = P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z\)

4. \(\begin{aligned}\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\end{aligned}\) 在 \(D\) 内恒成立

设 \(v\) 在 \(D\) 内的曲线积分与路径无关, 则对 \(\forall A, B\in D\), 有

\[\int_A^B\bm{v}\cdot\text{d}\bm{r}=\varphi(B)-\varphi(A)\]

其中 \(\varphi(x,y,z)\) 满足 \(\bm{v}=\nabla\varphi\)

全微分求积

设 \( P(x, y) \), \( Q(x, y) \) 在单连通区域 \( D \) 有连续偏导数, 且

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \]

则存在二元函数 \( \varphi \) 使得 \( \text{d}\varphi = P\text{d}x + Q\text{d}y \)，即 \( P\text{d}x + Q\text{d}y \) 是 \( \varphi \) 的全微分，此时称 \( \varphi \) 为 \( P\text{d}x + Q\text{d}y \) 的原函数。已知

\[\varphi(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P\text{d}x+Q\text{d}y\]

若 \(P(x, y)\text{d}x + Q(x, y)\text{d}y\) 是某函数的全微分，则称方程 \(P\text{d}x + Q\text{d}y = 0\) 为全微分方程。

判别式 \(\begin{aligned}\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\end{aligned}\)

解法 求出原函数 \(\varphi(x, y)\)，则通解为 \(\varphi(x, y) = C\)

第二型曲面积分

定义

向量形式

\[ \iint_S\bm{v}\cdot \text{d}\bm{S} = \iint_S(\bm{v\cdot \bm{n}^{\circ}})\text{d}S \]

坐标形式

\[ \iint_S\bm{v}\cdot \text{d}\bm{S} = \iint_SP\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y \]

\(\bm{v}=(P,Q,R)\) - 均匀流体的流速场

\(\bm{n}^{\circ}\) - 指向正侧单位法向量

微分形式

更准确的说，这里所说的 \(\text{d}y\text{d}z, \text{d}z\text{d}x, \text{d}x\text{d}y\) 其实是 \(\text{d}y\wedge\text{d}z, \text{d}z\wedge\text{d}x, \text{d}x\wedge\text{d}y\)

计算

若定侧光滑曲面 \(S\) 为 \(\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases},\quad (u,v)\in D\) 则

\[ \iint_SP\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y = \pm \iint_D(PA+QB+RC)\text{d}u\text{d}v \]

注

其中 \(\pm\) 号选择由 \(S\) 指定侧的法向量确定.

特例

• 若曲面 \(S\) 的方程为 \(z = f(x, y)\)，\((x, y) \in D\)，则

$$ \iint_S P \text{d}y \text{d}z + Q \text{d}z \text{d}x + R \text{d}x \text{d}y = \pm \iint_D (-P f_x' - Q f_y' + R) \text{d}x \text{d}y $$ （合一投影法）

• 当 \(P = Q = 0\) ，曲面 \(S\) 为 \(z = f(x, y)\)，\((x, y) \in D\) 时

\[ \iint_S R(x, y, z) \text{d}x \text{d}y = \pm \iint_D R(x, y, f(x, y)) \text{d}x \text{d}y \]

当曲面 \(S\) 指定上侧时，选 \(+\) 号，指定下侧时，选 \(-\) 号。

• 当曲面 \(S\) 为母线平行于z轴的柱面时

\[ \iint_S R(x, y, z) \text{d}x \text{d}y = 0 \]

Gauss定理和Stokes定理

Gauss 公式

设 \(\bm{v} = (P, Q, R)\) 为空间有界闭域 \(V\) 上的光滑向量场，\(\partial V\) 是分片光滑闭曲面，则有

\[ \oiint_{\partial V^+}P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y = \iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text{d}V \]

向量形式 $$ \oiint_{\partial V+}\bm{v}\cdot\text{d}\bm{S} = \iiint_V\nabla \cdot \bm{v}\text{d}V = \iiint_V\text{div }{\bm{v}}\text{d}V $$

• 设空间有界闭域 \(V\) 的边界分片光滑, 则其体积

  \[V = \frac{1}{3}\oiint_{\partial V^+}x\text{d}y\text{d}z+y\text{d}z\text{d}x+z\text{d}x\text{d}y\]

• 散度物理意义 \(\displaystyle \text{div }\bm{v}(M) = \lim_{V\to M}\frac{1}{\text{Vol}(V)}\oiint_{\partial V^+}\bm{v}\cdot \text{d}\bm{S}\)

Stokes 公式

设 \( \bm{v} = (P, Q, R) \) 为空间光滑曲面 \( S \) 上的光滑向量场， \( \partial S \) 是分段光滑闭曲线，则有

\[\begin{aligned}&\oint_{\partial S}P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z\\ =& \iint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\text{d}y\text{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\text{d}z\text{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y\\ =& \iint_S \begin{vmatrix} \text{d}y\text{d}z & \text{d}z\text{d}x & \text{d}x\text{d}y\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix} = \iint_S \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix}\text{d}S \end{aligned}\]

其中 \(\partial S\) 定向与 \((\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\) 按右手法则联系

向量形式

\[\begin{aligned} \oint_{\partial S}\bm{v}\cdot \text{d}\bm{r} &= \iint_S\textbf{rot }\bm{v}\cdot \text{d}\bm{S}\\ &=\iint_S\textbf{rot }\bm{v}\cdot \bm{n}^{\circ}\text{d}S \end{aligned}\]

• 旋度物理意义 \(\displaystyle \textbf{rot }\bm{v}\cdot \bm{n}^{\circ} \mid_M = \lim_{S\to M}\frac{1}{\text{Area}(V)}\oint_{\partial S}\bm{v}\cdot \text{d}\bm{r}\)

保守场

定义

• 设 \(V\) 为空间区域, 若 \(V\) 中的任意闭曲线都可在 \(V\) 中 连续收缩为一点, 则称 \(V\) 为一维(曲面)单连通.

• 若 \(V\) 中的任意闭曲面可在 \(V\) 中连续收缩为一点, 则称 \(V\) 为二维(空间)单连通.

等价关系

设 \(\bm{v} = (P, Q, R)\) 是连通区域 \(V\) 内光滑向量场，若

1. 在 \(V\) 内曲线积分 \(\displaystyle \int_L P \text{d}x + Q \text{d}y + R \text{d}z\) 与路径无关，则称 \(\bm{v}\) 为 \(V\) 中的 保守场;

2. \(\text{d} \varphi = P \text{d}x + Q \text{d}y + R \text{d}z\)，则称 \(\varphi\) 是 \(\bm{v}\) 的 势函数，\(\bm{v}\) 是 \(\varphi\) 的 梯度场，即 \(\bm{v} = \nabla \varphi\);

3. 在 \(V\) 内恒有 \(\textbf{rot } \bm{v} = 0\)，则称 \(\bm{v}\) 为 \(V\) 中的 无旋场.

• 设 \(\bm{v}\) 为光滑向量场，\(V \subset \mathbb{R}^3\)。若存在向量场 \(\bm{\alpha}\) 使得 \(\bm{v} = \textbf{rot } \bm{\alpha} = \nabla \times \bm{\alpha}\)，则称 \(\bm{\alpha}\) 为 \(\bm{v}\) 的 向量势.

• 设v 为向量场, 若其散度 \(\text{div }\bm{v} = \nabla\cdot \bm{v} = 0\), 则称 \(v\) 为无源场.

• 若 \(\bm{v}\) 为光滑向量场, 则 \(\bm{v}\) 存在向量势的充要条件是 \(\bm{v}\) 为无源场.

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