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ODE

基本概念

  • 微分方程：含自变量, 未知函数及其导数的关系式;

  • 方程的阶：未知函数导数的最高阶数;

  • n阶方程 一般形式：\(F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0\)

    \(x\) — 自变量, \(y\) — 未知函数

  • 方程的解：函数 \(y = y(x)\) 代入方程得到恒等式

  • 方程通解：解 \(y = y(x, C_1, C_2, \dots, C_n)\)​ 中含独立任意常数, 且“个数 = 阶数”.

    函数 \(y = y(x, C_1, C_2)\) 中任意常数 \(C_1, C_2\) 独立，即 \(\begin{aligned} \begin{vmatrix} \dfrac{\partial y}{\partial C_1} & \dfrac{\partial y}{\partial C_2} \\\\ \dfrac{\partial y'}{\partial C_1} & \dfrac{\partial y'}{\partial C_2} \end{vmatrix}\end{aligned} \neq 0.\)

  • 方程特解：通解中任意常数被确定;

  • 定解条件：用于确定通解中任意常数的条件
  • 初始条件：自变量取同一点值的定解条件
  • 边界条件：自变量取区间端点值的定解条件
  • 定解问题：方程 + 定解条件

一阶微分方程

可分离变量方程

  • 形式：\(\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x)h(y)\end{aligned}\)

  • 解法：化为 \(\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}y}{h(y)} = g(x)\mathrm{d}x\end{aligned}\) 后两边积分

一阶齐次方程

  • 形式：\(\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(\frac{y}{x})\end{aligned}\)

  • 解法：设 \(\begin{aligned}u = \frac{y}{x} \Rightarrow y' = u + xu' \Rightarrow \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{\varphi(u)-u}{x}\end{aligned}\)

一阶线性方程

  • 形式：\(y' + P(x)y = Q(x)\)

  • 解法：常数变易法

先考虑特殊情况 \(Q = 0\) 时的解，再在通解中将常数变换成待定函数

  • 公式：\(\begin{aligned}y = e^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)\mathrm{d}x} + C \right)\end{aligned}\)

Bernoulli方程

  • 形式：\(y' + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0,1)\)
  • 解法：代换 \(z = y^{1-n} \Rightarrow z' + (1-n)Pz = (1-n)Q\)​

可降阶微分方程

二阶微分方程一般形式：\(F(x, y, y', y'') = 0\)​

解法：设 \(\begin{aligned}y' = p \Rightarrow \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = f(x, p)\end{aligned}\)

解法：设 \(\begin{aligned}y' = p \Rightarrow p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y, p)\end{aligned}\)

二阶微分方程

\(n\) 阶线性微分方程标准形式

\[y^n+p_1(x)y^{n-1}+\dots +p_{n-1}(x)y'+p_n(x)y=f(x) \tag{NHL}\]

\(p_1(x), \dots p_n(x)\) - 方程的系数 \(f(x)\) - 非齐次项

\[y^n+p_1(x)y^{n-1}+\dots +p_{n-1}(x)y'+p_n(x)y=0 \tag{HL}\]

二阶线性微分方程标准形式

\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \tag{NHL}\]
\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{HL}\]

线性相关与无关

对函数\(y_1(x), y_2(x)\)，若存在不全为零的常数\(c_1, c_2\)，使得

\[c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\equiv 0(x\in I)\]

则称 \(y_1(x), y_2(x)\) 线性相关，否则称它们线性无关

Wronski 行列式

设 \(y_1(x), y_2(x)\) 在区间I上可导, 则称

\[W(x) = \left|\begin{matrix}y_1(x) & y_2(x)\\ y_1'(x) & y_2'(x)\end{matrix}\right|\]

为 \(y_1(x), y_2(x)\) 的 Wronski 行列式

设 \(y_1(x), y_2(x)\) 是\((HL)\)的解，则

  • 它们在\(I\)上线性相关 \(\Leftrightarrow W(x) \equiv 0(x\in I)\)

  • 它们在\(I\)上线性无关 \(\Rightarrow W(x)\) 恒不为零 \((x\in I)\)

Liouville 公式

\[W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p(t)\mathrm{d}x}\]

求解二阶线性微分方程

Liouville 公式

两个线性无关的解（即基本解组）

若 \(y_1(x)\) 是 \((HL)\) 的非零解，那么

\[y_2 = y_1 \int \frac{1}{y_1^2} e^{-\int_{x_0}^{x} p(t)\mathrm{d}t}\mathrm{d}x\]

是 \((HL)\) 与 \(y_1(x)\) 线性无关的解

常数变易法

一个特解和对应齐次方程的一个基本解组

若 \((HL)\) 的基本解组为 \(y_1(x), y_2(x)\) ，设 \((NHL)\) 特解

\[y^* = c_1(x)y_1(x) + c_2(x)y_2(x)\]

将 \(c_1'(x)y_1(x) + c_2'(x)y_2(x) = 0\) 代入 \((NHL)\) 得到

\[c_1'(x)y_1'(x) + c_2'(x)y_2'(x) = f(x)\]

解出

\[c_1'(x) = \frac{-y_2(x)f(x)}{W(x)}, \quad c_2' = \frac{y_1(x)f(x)}{W(x)}\]

二阶常系数齐次线性方程

\[y''+py'+qy=0\]

令 \(y=e^{\lambda x}\) 得到

\[\lambda^2 + p\lambda + q = 0\]
特征根情况 通解形式
相异实根 \(\lambda_1, \lambda_2\) \(c_1 e^{\lambda_1x}+c_2 e^{\lambda_2x}\)
相同实根 \(\lambda\) \(c_1 e^{\lambda x}+c_2x e^{\lambda x}\)
共轭复根 \(\alpha \pm i\beta\) \(c_1e^{\alpha x}\cos \beta x+c_2e^{\alpha x}\sin \beta x\)

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