反常积分和含参变量积分

反常积分

• 记 \(\displaystyle F(A)=\int_a^Af(x)\text{d}x\)，定义无穷积分 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x = \lim_{A\to +\infty}F(A)\)

• 记 \(\displaystyle F(A)=\int_a^Af(x)\text{d}x\)，（\(b\) 瑕点）定义瑕积分\(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x = \lim_{A\to b^-}F(A)\)

无穷积分的敛散性

定理(Cauchy准则)

\(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 收敛 \(\Leftrightarrow\)

\[\forall \epsilon > 0,\exists A>a,\forall A',A''>A:\left|\int_{A'}^{A''}f(x)\text{d}x\right|<\epsilon\]

• 若 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}|f(x)|\text{d}x\) 收敛，则称 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 绝对收敛

• 若 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 收敛，但 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}|f(x)|\text{d}x\) 发散，则称 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 条件收敛

定理

• 若 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 绝对收敛，则 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 收敛

• 若 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x, \int_a^{+\infty}g(x)\text{d}x\) 绝对收敛，则 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}[f(x)\pm g(x)]\text{d}x\) 绝对收敛

• 若 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 绝对收敛，\(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 条件收敛，则 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}[f(x)\pm g(x)]\text{d}x\) 条件收敛，\(\displaystyle \int_a^{+\infty}|f(x)\pm g(x)|\text{d}x\) 发散

非负函数无穷积分判别法

定理(收敛原理)

设 \(f(x)\geq 0\)，则 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 收敛 \(\Leftrightarrow\)

\[F(A)=\int_a^Af(x)\text{d}x\text{ 在 }[a,+\infty)\text{ 有上界}\]

定理(比较判别法)

设 \(g(x) \geq f(x) \geq 0\)，则

1. $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \text{d}x $ 收敛 \(\implies \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \text{d}x\) 收敛

2. \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \text{d}x\) 发散 \(\implies \displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \text{d}x\) 发散

定理(极限形式)

设 \(f(x) \geq 0, g(x) > 0\)，且 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l\)，则

1. 当 \(0 < l < +\infty\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \text{d}x\) 与 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \text{d}x\) 同敛散;

2. 当 \(l = 0\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \text{d}x\) 收敛 \(\implies \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \text{d}x\) 收敛;

3. 当 \(l = +\infty\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \text{d}x\) 发散 \(\implies \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \text{d}x\) 发散.

定理(\(p\)-判别法)

设 \(f(x) \geq 0\)，且 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = l\)，则

1. 当 \(0 \leq l < +\infty\)，且 \(p > 1\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \text{d}x\) 收敛;

2. 当 \(0 < l \leq +\infty\)，且 \(p \leq 1\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \text{d}x\) 发散.

A-D判别法

Abel 变换

设有 \(\{a_n\},\{b_n\}\)，记 \(A_k=a_1+a_2+\cdots +a_k\)，则

\[\sum_{k=1}^n a_kb_k = A_nb_n + \sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1})\]

积分第二中值定理

设 \(f \in R[a, b]\)，则有

1. 若 \(g(x)\) 在 \([a, b]\) 上单调减少且 \(g(x) \geq 0\)，则 \(\exists \xi \in [a, b]\) 使 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \text{d}x = g(a) \displaystyle \int_{a}^{\xi} f(x) \text{d}x\)

(Bonnet型)

1. 若 \(g(x)\) 在 \([a, b]\) 上单调增加且 \(g(x) \geq 0\)，则 \(\exists \xi \in [a, b]\) 使 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \text{d}x = g(b) \displaystyle \int_{\xi}^{b} f(x) \text{d}x\)

(Bonnet型)

1. 若 \(g(x)\) 在 \([a, b]\) 上单调，则 \(\exists \xi \in [a, b]\) 使 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \text{d}x = g(a) \displaystyle \int_{a}^{\xi} f(x) \text{d}x + g(b) \displaystyle \int_{\xi}^{b} f(x) \text{d}x\)

(Weierstrass型)

定理(Bonnet型)

设 \(f \in R[a, b], g(x)\) 在 \([a, b]\) 单调减少，且 \(g(x) \geq 0\)，则

\(\exists \xi \in [a, b]\) 使 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \text{d}x = g(a) \displaystyle \int_{a}^{\xi} f(x) \text{d}x\)

定理(A-D判别法)

设 \(f, g\) 满足下列两组条件之一：则 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \text{d}x\) 收敛.

(Abel) \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \text{d}x\) 收敛，\(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 单调有界;

(Dirichlet) \(F(A) = \displaystyle \int_{a}^{A} f(x) \text{d}x\) 在 \([a, +\infty)\) 有界，\(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 单调且 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\).

瑕积分的敛散性

定理(Cauchy准则)

设 \(b\) 为瑕点，\(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x\) 收敛 \(\Leftrightarrow\)

\[\forall \epsilon > 0,\exists \delta>0,\forall x',x''\in(b-\delta,b):\left|\int_{x'}^{x''}f(x)\text{d}x\right|<\epsilon\]

• 若 \(\displaystyle \int_a^b|f(x)|\text{d}x\) 收敛，则称 \(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x\) 绝对收敛

• 若 \(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x\) 收敛，但 \(\displaystyle \int_a^b|f(x)|\text{d}x\) 发散，则称 \(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x\) 条件收敛

定理

• 若 \(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x\) 绝对收敛，则 \(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x\) 收敛

• 若 \(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x, \int_a^bg(x)\text{d}x\) 绝对收敛，则 \(\displaystyle \int_a^b[f(x)\pm g(x)]\text{d}x\) 绝对收敛

• 若 \(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x\) 绝对收敛，\(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x\) 条件收敛，则 \(\displaystyle \int_a^b[f(x)\pm g(x)]\text{d}x\) 条件收敛，\(\displaystyle \int_a^b|f(x)\pm g(x)|\text{d}x\) 发散

定理(收敛原理)

设 \(f(x)\geq 0\)，则 \(\displaystyle \int_a^bf(x)\text{d}x\) 收敛 \(\Leftrightarrow\)

\[F(A)=\int_a^Af(x)\text{d}x\text{ 在 }[a,b)\text{ 有上界}\]

定理(比较判别法)

设 \(g(x) \geq f(x) \geq 0\)，则

1. $\displaystyle \int_{a}^b g(x) \text{d}x $ 收敛 \(\implies \displaystyle \int_{a}^b f(x) \text{d}x\) 收敛

2. \(\displaystyle \int_{a}^b f(x) \text{d}x\) 发散 \(\implies \displaystyle \int_{a}^b g(x) \text{d}x\) 发散

定理(极限形式)

设 \(b\) 为瑕点，\(f(x) \geq 0, g(x) > 0\)，且 \(\displaystyle \lim_{x \to b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = l\)，则

1. 当 \(0 < l < +\infty\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^b f(x) \text{d}x\) 与 \(\displaystyle \int_{a}^b g(x) \text{d}x\) 同敛散;

2. 当 \(l = 0\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^b g(x) \text{d}x\) 收敛 \(\implies \displaystyle \int_{a}^b f(x) \text{d}x\) 收敛;

3. 当 \(l = +\infty\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^b g(x) \text{d}x\) 发散 \(\implies \displaystyle \int_{a}^b f(x) \text{d}x\) 发散.

定理(\(p\)-判别法)

设 \(b\) 为瑕点，\(f(x) \geq 0\)，且 \(\displaystyle \lim_{x \to b^-} (b-x)^p f(x) = l\)，或

设 \(a\) 为瑕点，\(f(x)\geq 0\)，且 \(\displaystyle \lim_{x\to a^+}(x-a)^pf(x)=l\)，则

1. 当 \(0 \leq l < +\infty\)，且 \(p < 1\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^b f(x) \text{d}x\) 收敛;

2. 当 \(0 < l \leq +\infty\)，且 \(p \geq 1\) 时，\(\displaystyle \int_{a}^b f(x) \text{d}x\) 发散.

含参变量的定积分

函数含参变量的定积分

设 \(f(x,u)\) 在 \([a,b]\times [\alpha, \beta]\) 上定义，且 \(\forall u\in[\alpha,\beta],\ f(x,u)\) 关于 \(x\) 在 \([a,b]\) 上可积，则称

\[\varphi (u)=\int_a^bf(x,u)\text{d}x\]

为含参变量的定积分，\(u\) 称为参变量

定理(连续性)

设 \(f (x, u)\) 在 \(I=[a,b]\times[\alpha, \beta]\) 上连续，则

\[\varphi(u)=\int_a^bf(x,u)\text{d}x\]

在 \([\alpha, \beta]\) 上连续.

• 积分号下取极限

  \[\lim_{u\to u_0}\int_a^bf(x,u)\text{d}x = \int_a^bf(x,u_0)\text{d}x = \int_a^b\lim_{u\to u_0}f(x,u)\text{d}x\]

定理(交换积分次序)

设 \(f(x, u) \in C[a, b] \times [\alpha, \beta]\), 则

\[ \int_{\alpha}^{\beta} \left( \int_{a}^{b} f(x, u) \, \text{d}x \right) \text{d}u = \int_{a}^{b} \left( \int_{\alpha}^{\beta} f(x, u) \, \text{d}u \right) \text{d}x \]

或

\[ \int_{\alpha}^{\beta} \text{d}u \int_{a}^{b} f(x, u) \, \text{d}x = \int_{a}^{b} \text{d}x \int_{\alpha}^{\beta} f(x, u) \, \text{d}u \]

• 常用积分变换式

\[ \frac{\sin bx - \sin ax}{x} = \int_{a}^{b} \cos xy \, \text{d}y \]

\[ \frac{\arctan bx - \arctan ax}{x} = \int_{a}^{b} \frac{1}{1 + (xy)^2} \, \text{d}y \]

\[ \frac{e^{bx} - e^{ax}}{x} = \int_{a}^{b} e^{xy} \, \text{d}y \]

定理(可导性)

设 \(f(x, u)\), \(f'_u(x, u) \in C[a, b] \times [\alpha, \beta]\), 则 \(\varphi(u) \in C^{(1)}[\alpha, \beta]\)，且

\[ \frac{\text{d}}{\text{d}u} \int_{a}^{b} f(x, u) \, \text{d}x = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial u} (x, u) \, \text{d}x \]

积分限含参变量的定积分

\[ \psi(u) = \int_{a(u)}^{b(u)} f(x, u) \, \text{d}x \]

定理(连续性)

设 \(f(x, u)\) 在 \(I = [a, b] \times [\alpha, \beta]\) 上连续，又 \(a(u), b(u)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上连续，且 \(a \leq a(u), b(u) \leq b\)，则

\[ \psi(u) = \int_{a(u)}^{b(u)} f(x, u) \, \text{d}x \]

在 \([\alpha, \beta]\) 上连续。

定理(可导性)

设 \(f(x, u)\), \(f'_u(x, u) \in C[a, b] \times [\alpha, \beta]\), 又

\(a(u), b(u)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上可导，且 \(a \leq a(u), b(u) \leq b\)，则

\[ \psi(u) = \int_{a(u)}^{b(u)} f(x, u) \, \text{d}x \]

在 \([\alpha, \beta]\) 上可导，且

\[ \frac{\text{d}}{\text{d}u} \int_{a(u)}^{b(u)} f(x, u) \, \text{d}x = \int_{a(u)}^{b(u)} f'_u(x, u) \, \text{d}x + f(b(u), u) b'(u) - f(a(u), u) a'(u) \]

含参变量的反常积分

设 \(f(x, u)\) 在 \([a, +\infty) \times [\alpha, \beta]\) 定义，若对 \(\forall u \in [\alpha, \beta]\)：

\[ \int_a^{+\infty} f(x, u) \text{d}x \]

收敛，则称之为 含参变量无穷积分，记为

\[ \varphi(u) = \int_a^{+\infty} f(x, u) \text{d}x, \quad u \in [\alpha, \beta] \]

定理

\(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x, u) \text{d}u\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上一致收敛的充要条件是：

\[ \lim_{A \to +\infty} \beta(A) = 0 \]

其中 \(\displaystyle \beta(A) = \sup_{u \in [\alpha, \beta]} \left| \int_A^{+\infty} f(x, u) \text{d}x \right|\)

定理(Cauchy准则)

\(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x, u) \text{d}x\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上一致收敛

\[ \iff \quad \forall \epsilon > 0, \exists X > a, \forall A', A'' > X, \forall u \in [\alpha, \beta]: \]

\[ \left| \int_{A'}^{A''} f(x, u) \text{d}x \right| < \epsilon \]

定理(Weierstrass-判别法)

存在 \(p(x) \geq 0\) 使得

1. \(\forall x \in [a, +\infty), \forall u \in [\alpha, \beta]: |f(x, u)| \leq p(x)\)

2. \(\displaystyle \int_a^{+\infty} p(x) \text{d}x\) 收敛

则 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x, u) \text{d}x\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上一致收敛.

定理 (A-D 判别法)

设 \(f(x, u), g(x, u)\) 满足下列两组条件之一：

则 \(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x, u) g(x, u) \text{d}x\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上一致收敛。

(Abel) \(\forall u \in [\alpha, \beta], g(x, u)\) 关于 \(x\) 单调，且一致有界，\(\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x, u) \text{d}x\) 关于 \(u\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上一致收敛；

(Dirichlet) \(\forall u \in [\alpha, \beta], g(x, u)\) 关于 \(x\) 单调，且一致趋于 \(0\) \((x \to +\infty)\)，\(\displaystyle \int_a^{A} f(x, u) \text{d}x\) 一致有界。

Euler 积分