Fourier 分析

函数的 Fourier 级数

基本概念

周期延拓

若 $f$ 是定义在 $[-l,l]$ 上的函数，令 $\begin{aligned}F(x) = \begin{cases} f(x-2nl), &(2n-1)l < x < (2n+1)l\\ \dfrac{f(l)-f(-l)}{2}, & x = (2n+1)l \end{cases}\end{aligned}$

偶延拓与奇延拓

$f_e(x)=\begin{cases}f(x), &0\leq x\leq l\\f(-x), &-l\leq x < 0\end{cases}\quad f_o(x)=\begin{cases}f(x), &0< x\leq l\\0, &x=0\\-f(-x), &-l\leq x < 0\end{cases}$

三角函数系的正交性

函数集合 $\{1, \cos x,\sin x, \cdots ,\cos nx,\sin nx ,\cdots\}$

1. $\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\text{d}x=\begin{cases}0, &m\neq n\\1, &m=n\neq 0\\2, &m=n=0\end{cases}(m,n=1,2,\dots)$

2. $\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\text{d}x=\begin{cases}0, &m\neq n\\1, &m=n\end{cases}(m,n=1,2,\dots)$

3. $\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\cos nx\text{d}x=0\ (m=1,2,\dots; n=0,1,\dots)$

周期函数的 Fourier 级数

设在 $[-\pi, \pi]$ 上函数 $f(x)$ 可展开为三角级数，即

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

Fourier 系数公式

$$\begin{cases} \begin{aligned}a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\text{d}x\end{aligned}, &n=0,1,2,\dots,\\ \begin{aligned}b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\text{d}x\end{aligned}, &n=1,2,\dots. \end{cases}$$

Fourier 级数(F氏级数)

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

"$\sim$" 表示级数是由 $f$ 写出来的，即 $f$ 收敛到F氏级数

Dirichlet 收敛定理

定理

设 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，在 $[-\pi,\pi]$ 上分段可微，则其F氏级数收敛，且

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx+b_n\sin nx) = \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$$

正弦和余弦级数

正弦级数余弦级数

设 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积且绝对可积，且为奇函数，则

$$\begin{cases} &a_n=0,\\ &\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\text{d}x = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin nx\text{d}x \end{cases}$$

$\displaystyle f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx$

设 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积且绝对可积，且为偶函数，则

$$\begin{cases} &\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\text{d}x = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos nx\text{d}x,\\ &b_n=0 \end{cases}$$

$\displaystyle f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx$

周期为 $2l$ 函数的F氏级数

令 $x=\dfrac{l}{\pi}t$，则 $g(t)=f(\dfrac{l}{\pi}t)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积且绝对可积，故

$$g(t)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nt+b_n\sin nt)$$

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos \frac{n\pi}{l}x+b_n\sin \frac{n\pi}{l}x)$$

其中 $\displaystyle a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi}{l}x\text{d}x,\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi}{l}x\text{d}x$

定理

设 $f$ 以 $2l$ 为周期，在 $[-l,l]$ 上分段可微，则其F氏收敛，且

$$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos \frac{n\pi}{l}x+b_n\sin \frac{n\pi}{l}x) = \begin{cases} \dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}, x\in (-l,l)\\ \dfrac{f(-l+0)+f(l-0)}{2}, x=\pm l \end{cases}$$

更一般的形式

$$f(x)\sim \dfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos (\frac{2\pi nx}{T}) + b_n\sin (\frac{2\pi nx}{T})\right)$$

其中，

$$a_0 = \dfrac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\text{d}x$$

$$a_n = \dfrac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos (\frac{2\pi nx}{T})\text{d}x$$

$$b_n = \dfrac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin (\frac{2\pi nx}{T})\text{d}x$$

F氏级数的复数形式

Euler 公式

$$\text{e}^{i\theta} = \cos \theta+i\sin\theta \leftrightarrow \cos\theta = \frac{\text{e}^{i\theta} + \text{e}^{-i\theta}}{2},\ \sin\theta = \frac{\text{e}^{i\theta}-\text{e}^{-i\theta}}{2i}$$

可导出 $f$ 的复数形式F氏级数.

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}\text{e}^{in\omega x}+\frac{a_n+ib_n}{2}\text{e}^{-in\omega x}\right)$$

其中 $\omega = \dfrac{\pi}{l}$ 为基频，$\displaystyle a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos n\omega x\text{d}x,\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin n\omega x\text{d}x$

$$\begin{aligned} f(x)&\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}\text{e}^{in\omega x}+\frac{a_n+ib_n}{2}\text{e}^{-in\omega x}\right)\\ &\stackrel{\text{def}}{=} F_0+\sum_{n=1}^{\infty}(F_n\text{e}^{in\omega x}+F_{-n}\text{e}^{-in\omega x})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\text{e}^{in\omega x} \end{aligned}$$

其中， $\begin{aligned} &F_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)\text{d}x,\\ &F_n=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)\text{e}^{-in\omega x}\text{d}x\\ &F_{-n}=\overline{F_n} \end{aligned}$

平方平均收敛

基本概念

记 $L^2[a,b] = \{f(x)\mid \text{在 }[a,b]\text{ 上可积且平方可积}\}$

• $L^2[a,b]$ 是一个线性空间

• 设 $f, g \in L^2[a, b]$，其内积定义为 $$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x) \text{d}x$$ $$| f | = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \sqrt{\int_a^b f^2(x) \text{d}x}$$

• $f, g$ 之间的距离 $$| f - g | = \sqrt{\langle f - g, f - g \rangle} = \sqrt{\int_a^b [f(x) - g(x)]^2 \text{d}x}$$

• 三角函数系 $\left\{ \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \cdots, \dfrac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}, \dfrac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}, \cdots \right\}$

  是 $L^2[-\pi, \pi]$ 的标准正交系

定义

设 $f \in L^2[a, b]$，若存在 $f_n \in L^2[a, b]$ 使得 $$\lim_{n \to \infty} | f_n - f |^2 = \lim_{n \to \infty} \int_a^b [f_n(x) - f(x)]^2 \text{d}x = 0$$ 则称 $f_n$ 平方平均收敛于 $f$。

Bessel 不等式

设 $f\in L^2[-\pi, \pi]$，

• $n$ 阶三角多项式 $\displaystyle g_n(x) = \frac{\alpha_0}{2} + \sum_{k=1}^{n}(\alpha_k\cos kx + \beta_k\sin kx)$

• $n$ 阶 Fourier 多项式（最佳逼近） $\displaystyle S_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx + b_k\sin kx)$

• 对 $\forall g_n\in G = \{g_n\}$ 有 $\|f-S_n(x)\|\leq \|f-g_n(x)\|$

• $\displaystyle \|f-S_n\|^2 = \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x)\text{d}x - \pi\left[ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)\right]$

Bessel 不等式

设 $f\in L^2[-\pi, \pi]$，则 $f$ 的F式系数满足

$$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2) \leq \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x)\text{d}x$$

推论

设 $f \in L^2[-\pi, \pi]$，则级数 $\displaystyle \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$收敛，故 $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0 = \lim_{n \to \infty} b_n,$$

Parseval 等式

平方平均收敛定理

设 $f\in L^2[-\pi, \pi]$，则$\{S_n(x)\}$ 平方平均收敛于 $f$，即

$$\lim_{n\to \infty} \|f-S_n\|^2 = 0$$

Parseval 等式

设 $f\in L^2[-\pi, \pi]$，则 $f$ 的F式系数满足

$$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x)\text{d}x$$

推论

1. 设 $f \in C[-\pi, \pi]$，且 $f$ 与三角函数系

   $$\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \cdots, \frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}, \cdots \right\}$$

   中的每一个都正交，则 $f(x) \equiv 0$。

   • 若 $f, g \in C[-\pi, \pi]$，且F氏系数相等，则 $f(x) \equiv g(x)$

2. 设 $f, g \in L^2[-\pi, \pi]$，其F氏系数分别为 $a_n, b_n$ 和 $\overline{a_n}, \overline{b_n}$，则

   $$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) \text{d}x = \frac{a_0 \overline{a_0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \overline{a_n} + b_n \overline{b_n})$$

3. 设 $f \in L^2[-\pi, \pi]$，其 Fourier 级数为

   $$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

   则对 $\forall [a, b] \subset [-\pi, \pi]$，有

   $$\int_a^b f(x) \text{d}x = \int_a^b \frac{a_0}{2} \text{d}x + \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \text{d}x$$

广义 Fourier 级数

基本概念

设 $\{\varphi_1(x), \varphi_2(x),\cdots,\varphi_n(x),\cdots\}$ 是 $L^2[a,b]$ 的标准正交系，即

$$\displaystyle \langle \varphi_m(x),\varphi_n(x)\rangle = \int_a^b \varphi_m(x)\varphi_n(x)\text{d}x = \begin{cases}0, &m\neq n\\1, &m=n\end{cases}$$

• 广义F氏系数 $\displaystyle a_n = \int_a^b f(x)\varphi_n(x)\text{d}x$

• 广义F氏级数 $\displaystyle f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} a_n\varphi_n(x)$

设 $f\in L^2[a,b], \{\varphi(x)\}$ 为标准正交系，

• $n$ 次 $\varphi$-多项式 $\displaystyle T_n(x) = \sum_{k=1}^n\alpha_k\varphi_k(x)$

• 广义F氏级数前 $n$ 项和（最佳逼近） $S_n(x) = \sum_{k=1}^na_k\varphi_k(x)$

• $\|f-S_n\|\leq \|f-T_n\|$

• $\displaystyle \|f-S_n\|^2 = \|f\|^2 - \sum_{m=1}^{\infty}a_m^2$

• $\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}a_m^2\leq \|f\|^2$

定义

• 设 $\{\varphi_n(x)\}$ 为 $L^2[a, b]$ 的标准正交系，且

$$\sum_{m=1}^{\infty} a_m^2 = |f|^2$$

则称 $\{\varphi_n(x)\}$ 为 $L^2[a, b]$ 的完备标准正交系。

定理

设 $\{\varphi_n(x)\}$ 为 $L^2[a, b]$ 的完备标准正交系，则 $$S_n(x) = \sum_{k=1}^n a_k \varphi_k(x)$$

平方平均收敛于 $f$，即 $$\lim_{n \to \infty} | f - S_n | = 0$$

定理

设 $\{\varphi_n(x)\}$ 为 $L^2[a, b]$ 的完备标准正交系，则

1. 若 $f \in C[a, b]$，则 $f(x) \equiv 0$ 当且仅当 $f$ 的广义F氏系数$a_n = 0, (n = 1, 2, \ldots)$

2. 从 $\{\varphi_n(x)\}$ 中删去任一函数，则剩余函数系不完备；

3. 若 $\displaystyle\int_a^b \varphi_0^2(x) \text{d}x = 1$，则 $\{\varphi_n(x)\}$ 增加 $\varphi_0(x)$ 所得函数系非正交系。

Fourier 变换

Fourier 积分

回顾 F氏级数的复数形式

记 $\lambda_n = \dfrac{n\pi}{l}, \Delta\lambda = \lambda_n-\lambda_{n-1}=\dfrac{\pi}{l}$

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 的任意有限区间分段可微，且在 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积¹，则有对任意 $x\in \mathbf{R}$ 有

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}\text{d}t\right]e^{i\lambda x}\text{d}\lambda = \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$$

特别地，若 $f$ 在 $x$ 处连续，则

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}\text{d}t\right]e^{i\lambda x}\text{d}\lambda = f(x)$$

Fourier 变换

设 $f$ 满足定理条件且连续，称函数

$$F(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}\text{d}t$$

为 $f$ 的 Fourier变换；而函数

$$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda)e^{i\lambda x}\text{d}\lambda$$

称为 $F(\lambda)$ 的 Fourier 逆变换，上式称为反演公式

实形式 Fourier 积分

当 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续时，有

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\text{d}\lambda\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos\lambda(x-t)\text{d}t\\ &\stackrel{\text{def}}{=}\int_0^{+\infty}\left[a(\lambda)\cos\lambda x+b(\lambda)\sin\lambda x\right]\text{d}\lambda \end{aligned}$$

其中 $\displaystyle a(\lambda) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos\lambda t\text{d}t\quad b(\lambda) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin\lambda t\text{d}t$

正弦和余弦变换

正弦变换余弦变换

若 $f$ 为奇函数，其 Fourier 变换

$$f(x) \rightarrow F_o(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-i \lambda t} \text{d}t = -2i \int_{0}^{+\infty} f(t)\sin(\lambda t) \text{d}t$$

称 $\displaystyle G_o(\lambda) = i F_o(\lambda) = 2 \int_{0}^{+\infty} f(t)\sin(\lambda t) \text{d}t$ 为 $f$ 的正弦变换，其逆变换为

$$G_o(\lambda) \rightarrow f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} G_o(\lambda)\sin(\lambda x) \text{d}\lambda$$

若 $f$ 为偶函数，其 Fourier 变换

$$f(x) \rightarrow F_e(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-i \lambda t} \text{d}t = 2 \int_{0}^{+\infty} f(t)\cos(\lambda t) \text{d}t$$

称为余弦变换，其逆变换为

$$F_e(\lambda) \rightarrow f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F_e(\lambda)e^{i \lambda x} \text{d}\lambda = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} F_e(\lambda)\cos(\lambda x) \text{d}\lambda$$

性质

记 $f$ 的 Fourier 变换为 $F[f]$，即

$$F[f](\lambda) = F(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-i\lambda t}\text{d}t$$

线性性

$$F[\alpha f+\beta g] = \alpha F[f]+\beta F[g]\quad \alpha,\beta\in\mathbb{R}$$

频移性

$$F[f(x)e^{-i\lambda_0x}](\lambda) = F(\lambda + \lambda_0)$$

微分关系

设 $f(\pm\infty)=0,f'$ 存在 Fourier 变换，则

$$F[f'] = i\lambda\cdot F[f]$$

微分特性

设 $f$ 和 $xf(x)$ 存在 Fourier 变换，则

$$F'(\lambda) = F[-ixf(x)]$$

卷积

设 $f,g$ 在 $\mathbb{R}$ 上绝对可积，则 $f$ 和 $g$ 的卷积

$$(f\ast g)(x)\stackrel{\text{def}}{=}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)g(t)\text{d}t$$

• $f\ast g=g\ast f$

• $(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$

• $(f+g)\ast h=f\ast h+g\ast h$

• $F[f\ast g] = F[f]\cdot F[g]$

Parseval 等式

若 $f$ 可积且平方可积，$F(\lambda)$ 是 $f$ 的F氏变换，则有

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)\text{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\lambda)|^2\text{d}\lambda$$

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1. 即积分在 $(-\infty,\infty)$ 上收敛 ↩

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